HISTORIA DE LOS NÚMEROS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA.

PROGRAMAS DE ESPECIALIZACIÓN

DOCENTE 2012- 2014.

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN COMUNICACIÓN, MATEMÁTICA Y CIENCIA DIRIGIDO A DOCENTES DEL NIVEL INICIAL Y PRIMARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR.

MODULO DE APRENDIZAJE: MATEMÁTICA.

TEMA:

LA NUMERACIÓN Y DESIGNACIÓN DE LOS NÚMEROS DE LAS CULTURAS MAYA, QUECHUA, AYMARA Y COMO FUNCIONA SEGÚN EL PRINCIPIO ADITIVO, SUSTRACTIVO O MULTIPLICATIVO.

PARTICIPANTE: Mg. MILQUIADES ENRIQUE ROÑA CÓRDOVA.
PIURA

2012

LOS SISTEMAS DE NUMERACION A LO LARGO DE LA HISTORIA

INTRODUCCIÓN. EL CONCEPTO DE BASE.

Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, bloques, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación más práctico.
En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra marca de la segunda clase.

Cuando se alcanza un número determinado (que puede ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de base 10, se añade una de tercer orden y así sucesivamente.

La base que más se ha utilizado a lo largo de la Historia es 10 según todas las apariencias por ser ese el número de dedos con los que contamos. Hay alguna excepción notable como son la numeración babilónica que usaba 10 y 60 como bases y la numeración maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna irregularidad.
Desde hace 5000 años la gran mayoría de las civilizaciones han contado en unidades, decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma forma que seguimos haciéndolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los números ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance científico por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el cálculo.

Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los números enteros, aunque en algunos pueden confundirse unos números con otros, pero muchos de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren tal cantidad de símbolos que los hace poco prácticos.
Pero sobre todo no permiten en general efectuar operaciones tan sencillas como la multiplicación, requiriendo procedimientos muy complicados que sólo estaban al alcance de unos pocos iniciados. De hecho cuando se empezó a utilizar en Europa el sistema de numeración actual, los abaquistas, los profesionales del cálculo se opusieron con las más peregrinas razones, entre ellas la de que siendo el cálculo algo complicado en sí mismo, tendría que ser un método diabólico aquel que permitiese efectuar las operaciones de forma tan sencilla.
El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los árabes;. Del origen indio del sistema hay pruebas documentales más que suficientes, entre ellas la opinión de Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno de los introductores del nuevo sistema en la Europa de 1200. El gran mérito fue la introducción del concepto y símbolo del cero, lo que permite un sistema en el que sólo diez símbolos puedan representar cualquier número por grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones.

EL SISTEMA DE NUMERACIÓN DE LA CULTURA MAYA.

SISTEMA DE NUMERACIÓN
Los orígenes del sistema de numeración maya están en el interior de una zona comprendida entre Tres Zapotes, Monte Albán, y Chalchuapa (El Salvador). En algunos monumentos olmecas aparecen cifras y esbozos de glifos, pero entre 300 a. C. y 150 d. C. se inscriben ya fechas con el sistema de cuenta larga.

Los mayas utilizaban un sistema de numeración de puntos y rayas, el punto equivalía al 1 y la raya al cinco. Se escribían hasta 4 rayas lo que nos da un máximo de 20, después de esa cantidad, se utilizaba un sistema bastante complejo de multiplicación.

Para los números mayores hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20… según el lugar que ocupe, y sumar el resultado. Es por tanto un sistema posicional que se escribe de arriba abajo, empezando por el orden de mayor magnitud.
Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 cómo base auxiliar. La unidad se representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro rayas.

Hasta aquí parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados cada uno un solo signo, estos símbolos constituyen las cifras de un sistema de base 20, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ... según el lugar que ocupe, y sumar el resultado. Es por tanto un sistema posicional que se escribe a arriba abajo, empezando por el orden de magnitud mayor.

Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de un signo para el cero, con el que indicar la ausencia de unidades de algún orden, se hace imprescindible y los mayas lo usaron, aunque no parece haberles interesado el concepto de cantidad nula. Cómo los babilonios lo usaron simplemente para indicar la ausencia de otro número.

Pero los científicos mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en la observación astronómica y para expresar los números correspondientes a las fechas usaron unas unidades de tercer orden irregulares para la base 20. Así la cifra que ocupaba el tercer lugar desde abajo se multiplicaba por 20x18=360 para completar una cifra muy próxima a la duración de un año.

SISTEMA DE NUMERACIÓN QUECHUA.

El sistema de numeración quechua, se caracteriza por tener mucha relación con el sistema de numeración romano y arábico que es en base diez.

Los Quipucamayoc eran los que usaban como minstrumentos para contar y operar a los quipus y sus yupanas. En el campo de la matemática los incas se destacaron principalmente por su capacidad de cálculo en el ámbito económico. Los quipus y yupanas fueron señal de la importancia que tuvo la matemática en la administración incaica, esto dotó a los incas de una aritmética sencilla pero efectiva, para fines contables basada en el sistema decimal; conocieron el cero y dominaron la suma, la resta, la multiplicación y la división.

Por otra parte, la construcción de caminos, canales y monumentos, así como el trazado de ciudades y fortalezas exigió el desarrollo de una geometría práctica que fue indispensable para la medición de longitudes y superficies, además del diseño arquitectónico. A la par desarrollaron importantes sistemas de medición de longitud y capacidad, los cuales tomaron partes del cuerpo humano como referencia.

SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

También se puede confirmar el uso del sistema decimal en el incario, por medio de la interpretación de los quipus, que están organizados de modo que los nudos de acuerdo a su ubicación pueden representar: unidades, decenas, centenas, etc.

Sin embargo, la principal confirmación de este sistema, se expresa en la denominación de los números en quechua, en que los números van desarrollándose de manera decimal, como se puede apreciar en el siguiente cuadro (el quechua usado es el estándar de Cuzco)

El cero fue conocido por los incas y se escribía así: 0 = Illa.

NÚMERO QUECHUA NÚMERO QUECHUA NÚMERO QUECHUA

1 Huk 11 Chunka hukniyuq 30 Kimsa chunka

2 Iskay 12 Chunka iskayniyuq 40 Tawa chunka

3 Kimsa 13 Chunka kimsayuq 50 Pisqa chunka

4 Tawa 14 Chunka tawayuq 60 Suqta chunka

5 Pisqa 15 Chunka pisqayuq 70 Qanchis chunka

6 Suqta 16 Chunka suqtayuq 80 Pusaq chunka

7 Qancis 17 Chunka qanchisniyuq 90 Isqun chunka

8 Pusaq 18 Chunka pusaqniyuq 100 Pachak

9 Isqun 19 Chunka isqunniyuq 1 000 Waranga

10 Chunka 20 Iskay chunka 1 000 000 Hunu.

Algunos encargados de la administración dejaron como resultado de un censo dejaron estas manifestaciones o cuadros informativos.

Encargado Cantidad de familias

Puriq 1 familia

Pichqa kamayuq 5 familias

Chunka kamayuq 10 familias

Pichqa chunka kamayuq 50 familias

Pachaka kamayuq 100 familias

Pichqa pachaka kamayuq 500 familias

Waranqa kamayuq 1.000 familias

Pichqa waranqa kamayuq 5.000 familias

Hunu kamayuq 10.000 familias
Otras expresiones como:

Kinsa warmi = 3 mujeres.

Chunka wawa = 10 niños

Isqun chunka kilumitru = 90 kilómetros.

INSTRUMENTOS INCAICOS

QUIPUS. Instrumento fundamental en la administración y contabilidad del Imperio Inca. Los quipus construyeron un sistema nemotécnico basado en cuerdas anudadas mediante las cuales se registraban todo tipo de información cuantitativa o cualitativa, si se trataba de resultados de operaciones matemáticas, solo se utilizaban los ábacos incas o yupanas. El quipus también servía como instrumento para guardar información de noticias, censos, montos productivos y de recursos de reserva conservados en depósitos estatales, también se dice que los incas dejaban en los quipus sus tradiciones e historia. Aun así no se sabe en la actualidad como era utilizado solo se sabe que quienes lo manejaban eran personas especializadas en la matemática y se les conocía como Quipucamayoc.

YUPANA O ABACO INCA.

Su potencial de contabilidad es aún muy discutido, estas eran de piedra talladas o de barro tenían casilleros o compartimentos que correspondían a las unidades decimales y se contaba o señalaba con ayuda de piedresitas o granos de maíz o quinua. Se podían indicar unidades, decenas, centenas y millares. Según las últimas investigaciones estas eran capaces de calcular cifras consideradas basándose probablemente en un sistema no decimal si no basado en relación al número 40 pero lo que se sabe es que en las yupanas se realizaban las cuatro operaciones aritméticas.

En octubre de 2010 el investigador peruano Andrés Chirinos con el apoyo de la Agencia Española de Cooperación Internacional para el Desarrollo (AECID), revisando dibujos y descripciones antiguas del cronista indígena Guaman Poma de Ayala, descifró finalmente el acertijo de la Yupana que básicamente es una tabla con once agujeros, que él denomina "calculadora prehispánica" y es capaz de sumar, restar, multiplicar y dividir y posiblemente también registrar textos, lo cual le hace tener esperanzas en descubrir finalmente cómo funcionaban los quipus

SISTEMA DE NUMERACIÓN AYMARA

El sistema de numeración Aymara fue convertido a partir de la música según los Awatiñas con su maya tunkaru es decir que solo contaban hasta diez, luego vendría el exitoso “ TUNKATA PATUNKARU” que nos llevó a contar hasta veinte. En la actualidad por insistencia popular se presentó este sistema de numeración ch’usat patakaru que esta de cero a 100.

CUADRO DE NUMERACIÓN AYMARA.

000 ch’usa

001 maya

002 paya

003 kimsa

004 pusi

005 phisqa

006 suxta

007 päqallqu

008 kimsaqallqu

009 llätunka

010 tunka

011 tunka mayani

012 tunka payani

013 tunka kimsani

014 tunka pusini

015 tunka phisqani

016 tunka suxtani

017 tunka päqallquni

018 tunka kimsaqallquni

019 tunka llätunkani



020 pä tunka

021 pä tunka mayani

022 pä tunka payani

023 pä tunka kimsani

024 pä tunka pusini

025 pä tunka phisqani

026 pä tunka suxtani

027 pä tunka päqallquni

028 pä tunka kimsaqallquni

029 pä tunka llätunkani



030 kimsa tunka

031 kimsa tunka mayani

032 kimsa tunka payani

033 kimsa tunka kimsani

034 kimsa tunka pusini

035 kimsa tunka phisqani

036 kimsa tunka suxtani

037 kimsa tunka päqallquni

038 kimsa tunka kimsaqallquni

039 kimsa tunka llätunkani



040 pusi tunka

041 pusi tunka mayani

042 pusi tunka payani

043 pusi tunka kimsani

044 pusi tunka pusini

045 pusi tunka phisqani

046 pusi tunka suxtani

047 pusi tunka päqallquni

048 pusi tunka kimsaqallquni

049 pusi tunka llätunkani

050 phisqa tunka

051 phisqa tunka mayani

052 phisqa tunka payani

053 phisqa tunka kimsani

054 phisqa tunka pusini

055 phisqa tunka phisqani

056 phisqa tunka suxtani

057 phisqa tunka päqallquni

058 phisqa tunka kimsaqallquni

059 phisqa tunka llätunkani



060 suxta tunka

061 suxta tunka mayani

062 suxta tunka payani

063 suxta tunka kimsani

064 suxta tunka pusini

065 suxta tunka phisqani

066 suxta tunka suxtani

067 suxta tunka päqallquni

068 suxta tunka kimsaqallquni

069 suxta tunka llätunkani

070 päqallqu tunka

071 päqallqu tunka mayani

072 päqallqu tunka payani

073 päqallqu tunka kimsani

074 päqallqu tunka pusini

075 päqallqu tunka phisqani

076 päqallqu tunka suxtani

077 päqallqu tunka päqallquni

078 päqallqu tunka kimsaqallquni

079 päqallqu tunka llätunkani



080 kimsaqallqu tunka

081 kimsaqallqu tunka mayani

082 kimsaqallqu tunka payani

083 kimsaqallqu tunka kimsani

084 kimsaqallqu tunka pusini

085 kimsaqallqu tunka phisqani

086 kimsaqallqu tunka suxtani

087 kimsaqallqu tunka päqallquni

088 kimsaqallqu tunka kimsaqallquni

089 kimsaqallqu tunka llätunkani 090 llätunka tunka

091 llätunka tunka mayani

092 llätunka tunka payani

093 llätunka tunka kimsani

094 llätunka tunka pusini

095 llätunka tunka phisqani

096 llätunka tunka suxtani

097 llätunka tunka päqallquni

098 llätunka tunka kimsaqallquni

099 llätunka tunka llätunkani

100 pataka



Formas de multiplicar.

MÉTODO DE LÍNEAS CRUZADAS

Con este método no es necesario saber la tabla de multiplicar solo saber ubicar las líneas cruzadas de acuerdo a cada factor, este método fue utilizado por los antiguos matemáticos griegos y egipcios desde los inicios de los años 1200 d. c

Aunque realmente no puedo asegurar que esto sea realmente un método matemático de la cultura maya. Algunas personas afirman que es un método chino o incluso un sistema antiguo de multiplicación que se daba en varias culturas. En todo caso, es una forma curiosa de multiplicar en las escuelas, y realmente funciona mejor para grandes multiplicaciones que nuestro sistema occidental. Para el cero parece ser que hay que trazar una línea de puntos, y las líneas con las que se crucen tienen valor cero. No te pierdas esta multiplicación maya, y después haz tus propias cuentas a ver si te funciona

Que estas formas de multiplicar no son nuevas se crearon a inicios de los años 1200 D.C y otras formas antes. Solo que las desconocemos y por eso no las aplicamos y nos hemos mecanizado con el método francés que lo aprendemos de generación en generación pero en adelante ya nos parece obsoleto, y muy complicado ya que conocemos otras formas más fáciles de operar.

Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci (hijo de Bonancio), es el más talentoso matemático de la Edad Media. Aunque nació en Pisa, su formación matemática la recibió en Argelia por parte de profesores musulmanes en 1202 publicó su famosa obra EL LIBRO DEL ÁBACO en el que incluye el problema que dio origen a su famosa sucesión.
Mg. MILQUIADES ENRIQUE ROÑA CÓRDOVA.
UNIVERSIDAD NACIOINAL DE PIURA.